Kurt Gödel svým důkazem první věty o neúplnosti poskytl metodu odhalování pravdy specifických aritmetických výrazů za podmínky, že všechny axiomy dané formální teorie aritmetiky jsou pravdivé. Dále, výraz, jehož pravda je tímto způsobem odhalena, nemůže být dokázán v dotyčné teorii. Může se tedy zdát, že relace logického důsledku je širší než relace odvoditelnosti pomocí předem definovaného souboru pravidel. Cílem této studie je prozkoumat, za jakých předpokladů může být gödelovský výraz správně považován za logický důsledek axiomů dané teorie. V této studii se tvrdí, že tomu tak může být pouze tehdy, když všechny teorémy dané teorie jsou chápany jako výrazy stejného druhu (a pravdivé ve stejném smyslu) jako aritmetické výrazy a jako výrazy o dokazatelnosti v dané teorii, a pouze tehdy, pokud jazyk teorie obsahuje logické výrazy, jež umožňují zahrnout určité predikáty meta-jazyka do jazyka dané teorie., In his proof of the first incompleteness theorem, Kurt Gödel provided a method of showing the truth of specific arithmetical statements on the condition that all the axioms of a certain formal theory of arithmetic are true. Furthermore, the statement whose truth is shown in this way cannot be proved in the theory in question. Thus it may seem that the relation of logical consequence is wider than the relation of derivability by a predefined set of rules. The aim of this paper is to explore under which assumptions the Gödelian statement can rightly be considered a logical consequence of the axioms of the theory in question. It is argued that this is the case only when the all the theorems of the theory in question are understood as statements of the same kind (and true in the same sense) as statements of arithmetic and statements about provability in the theory, and only if the language of the theory contains logical expressions allowing to include certain predicates of meta-language in the language of the theory., and Jaroslav Zouhar.
Systems of axioms for elementary logic we can find in textbooks are usually not very transparent; and the reader might well wonder how did precisely such a set of axioms come into being. In this paper we present a way of constituting one such non-transparent set of axioms, namely the one presented by E. Mendelson in his Introduction to Mathematical Logic, in a transparent way, with the aim of helping the reader to get an insight into the workings of the axioms., Systémy axiomů pro elementární logiku, které můžeme najít v učebnicích, nejsou obvykle příliš transparentní; a čtenář by se mohl divit, jak přesně vznikl takový soubor axiomů. V tomto příspěvku představujeme způsob, jak vytvořit jednu takovou netransparentní sadu axiomů, a to transparentní způsob, který předložil E. Mendelson ve svém Úvodu do matematické logiky , s cílem pomoci čtenáři nahlédnout do fungování axiomů., and Jaroslav Peregrin
This paper focuses on the theory of deduction, developed by the Czech logician Pavel Tichý. Research on deduction in Tichý’s logic is still not very advanced. Tichý’s own deduction system is a generalization of Gentzen’s natural deduction and although it is an interesting topic in itself, I’d rather focus on the theory or philosophy of deduction that motivates Tichý’s choice of deduction system. Some of Tichý’s expressions suggest that in the question of the status of the theory of deduction in logic he held the prevailing modern approach, but this contradicts the fact that most of his writings concern selected problems of logical semantics. Having introduced Tichý’s original conception of deduction, I pay attention to the so called object-conception of logic, which explains the special position of the theory of deduction in his conception., Příspěvek se zaměřuje na teorii dedukce vyvinutou českým logikem Pavlem Tichým. Výzkum o dedukci v Tichém logice stále není příliš pokročilý. Tichý vlastní dedukční systém je zobecněním Gentzenova přirozeného dedukce, a přestože je to samo o sobě zajímavé téma, raději bych se zaměřil na teorii nebo filosofii dedukce, která motivuje Tichého volbu systému odpočtu. Někteří z Tichých výrazů naznačují, že v otázce stavu teorie dedukce v logice zastával převažující moderní přístup, což však odporuje skutečnosti, že většina jeho spisů se týká vybraných problémů logické sémantiky. Po představení Tichého původní koncepce dedukce věnuji pozornost tzv. Objektové koncepci logiky, která v jeho pojetí vysvětluje zvláštní postavení teorie dedukce., and Karel Šebela
Th is article proposes some refl ections on the status of the quadrivium in the epistles X–XIV of one of the best known encyclopaedia of the Brethren of Purity Rasā’il, by reconstructing the implied methodology of how the quadrivium is applied within a theoretic philosophy and therefore how all these aspects concur in order to obtain demonstrations that are in complete cohesion with soundness. Following a hermeneutical methodology, this research explores the ways to get to the universal truth and how exactly one arrives to it. Th e fi rst part explains what perceived science is and what its defi ning features are, while the second part illustrates a distribution of the application of the quadrivium in relation with what the Brethren of Purity established as methods of acquiring knowledge. Finally, the last part evaluates some examples that can be traced from a ground of the quadrivial disciplines in order to show how some elements of formal logic are evaluated. and Článek nabízí refl exi statusu kvadrivia v listech X–XIV jedné z nejznámějších encyklopedií Bratrstva čistoty Rasā’il a rekonstruuje v ní zahrnutou metodologii užívání kvadrivia v rámci teoretické fi losofi e, tedy jak v něm jsou získávány naprosto korektní důkazy. Pomocí hermeneutické metodologie jsou zkoumány způsoby, jak se přibližovat k obecné pravdě a jak přesně k ní jednotlivci dospívají. První část vysvětluje, co je to empirická věda a jaké jsou její určující rysy, zatímco druhá část dokládá, jak Bratrstvo čistoty nahlíželo na rozličná užití kvadrivia jako na metody vedoucí k poznání. Závěrečná část hodnotí některé příklady, které lze nalézt v samotných základech kvadriviálních disciplín a demonstruje na nich, jak je v nich využita formální logika.