Ve fyzice i v technických oborech býváme postaveni před úkol řešit problémy, které jsou sice svou podstatou prostorové, avšak funkce popisující řešení úlohy jsou závuislé jen na souřadnicích x a y v rovině. Typickým příkladem je rozložení potenciálu elektrostatického pole velmi dlouhého válcového kondenzátoru nebo rozložení teploty mezi trubkami souosého potrubí. I tak však může být přímé řešení problému v rovině xy složité, nebo dokonce neschůdné. Konformní zobrazení umožňuje převést úlohu z definičního oboru D v rovině xy, kterou si představíme jako Gaussovu rovinu a ze souřadnic x a y sestavíme komplexní proměnnou z = x + iy opět do Gaussovy roviny pomocí zobrazení w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y) vhodných vlastností, v níž se řešení může významně zjednodušit. Takové zobrazení popíšeme a ukážeme jeho účinnost na příkladech., Jana Musilová, Pavla Musilová., and Obsahuje bibliografické odkazy
Diferenciální operátory, jako gradient, divergence, rotace, Laplaceův operátor a další, jsou nejen důležitými pojmy matematické analýzy či diferenciální geometrie, ale především fyziky. Dokonce lze říci, že právě při formulaci fyzikálních teorií vznikaly. V tomto příspěvku ukazujeme, že k pochopení významu a uplatnění diferenciálních operátorů ve fyzice není nutné nejprve důkladně studovat matematickou teorii, ale že je možné použít vcelku korektního elementárního matematického výkladu. Vděčným příkladem, jehož prostřednictvím lze takový výklad provést, je mechanika kapalin, jako konkrétní ukázku použijeme úvahy o rozložení tlaku v kapalině a dva důležite zákony zachování v mechanice kapalin: rovnici kontinuity a Bernoulliovu rovnici., Differential operators such as gradient, divergence, rotation, Laplace operator etc. are important concepts not only for mathematical analysis or differential geometry, but primarily for physics. We show that for understanding of the meaning and applications of them one can use an elementary but still math ematically correct explanation. These operators can be used in mechanics of fluids to find solutions to questions such as the
distribution of pressure or two important conservation laws in fluid mechanics - continuity equation and Bernoulli equation., Jana Musilová, Pavla Musilová., and Obsahuje seznam literatury
Říká se, že jedním ze znaků správné fyzikální teorie je její krása. Máme-li na mysli estetičnost matematickou, patří variační počet k matematickým metodám, které naplňují tento požadavek vrchovatě. Je také pravda, že správné (zkušeností a experimentem prověřené) fyzikální teorie bývají variační, tj. odvoditelné z variačního principu: Klasická mechanika, relativistická mechanika, kvantová mechanika, klasická elektrodynamika... Na zcela elementární úrovni předkládáme základní myšlenku a klasické postupy variačního počtu, s ukázkami použití v geometrii a fyzice. Zaměříme se pouze na variační princip prvního řádu, s důrazem na mechaniku, kde na rozdíl od teorie pole závisí řešené úlohy pouze na jedné nezávisle proměnné, ve fyzice obvykle na čase., It is said that one of the characteristic features of physical theories is their beauty. Having in mind the "mathematical aesthetic appearance" one can say that the calculus of variations highly fulfils this requirement! It is also well known that correct physical theories (those verified experimentally), are often variational, i.e. based on a variational principle: classical mechanics, relativistic mechanics, quantum mechanics, classical electrodynamics, etc. We present, at a very basic level, the fundamental ideas and classical approaches of the calculus of variations, including examples of their use in geometry and physics. We focus on the first order variational principle, emphasizing mechanics, because contrary to field theories, the variational problems in mechanics depend on one independent variable only (usually time in physics)., Jana Musilová, Pavla Musilová., and Obsahuje bibliografii