This paper is concerned with bounds of eigenvalues of a complex matrix. Both lower and upper bounds of modulus of eigenvalues are given by the Stein equation. Furthermore, two sequences are presented which converge to the minimal and the maximal modulus of eigenvalues, respectively. We have to point out that the two sequences are not recommendable for practical use for finding the minimal and the maximal modulus of eigenvalues.
We are concerned with bounds of the matrix eigenvalues and its exponential. Combining the Lyapunov equation with the weighted logarithmic matrix norm technique, four sequences are presented to locate eigenvalues of a matrix. Based on the relations between the real parts of the eigenvalues and the weighted logarithmic matrix norms, we derive both lower and upper bounds of the matrix exponential, which complement and improve the existing results in the literature. Some numerical examples are also given.
A total dominating set in a graph $G$ is a subset $X$ of $V(G)$ such that each vertex of $V(G)$ is adjacent to at least one vertex of $X$. The total domination number of $G$ is the minimum cardinality of a total dominating set. A function $f\colon V(G)\rightarrow \{-1,1\}$ is a signed dominating function (SDF) if the sum of its function values over any closed neighborhood is at least one. The weight of an SDF is the sum of its function values over all vertices. The signed domination number of $G$ is the minimum weight of an SDF on $G$. In this paper we present several upper bounds on the algebraic connectivity of a connected graph in terms of the total domination and signed domination numbers of the graph. Also, we give lower bounds on the Laplacian spectral radius of a connected graph in terms of the signed domination number of the graph.
The hypergeometric distributions have many important applications, but they have not had sufficient attention in information theory. Hypergeometric distributions can be approximated by binomial distributions or Poisson distributions. In this paper we present upper and lower bounds on information divergence. These bounds are important for statistical testing and for a better understanding of the notion of exchangeability.
Let $A$ be an $n\times n$ symmetric, irreducible, and nonnegative matrix whose eigenvalues are $\lambda _1 > \lambda _2 \ge \ldots \ge \lambda _n$. In this paper we derive several lower and upper bounds, in particular on $\lambda _2$ and $\lambda _n$, but also, indirectly, on $\mu = \max _{2\le i \le n} |\lambda _i|$. The bounds are in terms of the diagonal entries of the group generalized inverse, $Q^{\#}$, of the singular and irreducible M-matrix $Q=\lambda _1 I-A$. Our starting point is a spectral resolution for $Q^{\#}$. We consider the case of equality in some of these inequalities and we apply our results to the algebraic connectivity of undirected graphs, where now $Q$ becomes $L$, the Laplacian of the graph. In case the graph is a tree we find a graph-theoretic interpretation for the entries of $L^{\#}$ and we also sharpen an upper bound on the algebraic connectivity of a tree, which is due to Fiedler and which involves only the diagonal entries of $L$, by exploiting the diagonal entries of $L^{\#}$.
V matematice a fyzice nejsou výjimkou situace, kdy řešení problému, jehož praktický význam se někomu může jevit i sporným, vede ke vzniku rozsáhlé obecné teorie či k rozvoji nové účinné metodiky. Je tomu tak i v případě problému brachistochrony, který sehrál klíčovou roli při vzniku variačního počtu. Lze jej formulovat takto: Jaký tvar má mít hladká skluzavka spojující dva zadané body ležící ve svislé rovině, aby tělísko volně vypuštěné z výše položeného z nich sklouzlo vlivem tíže do druhého bodu v nejkratším možném čase? V první části tohoto článku se věnujeme historickým aspektů problému brachistochrony a komentujeme jednotlivá významnější řešení, která byla v průběhu doby předložena. Druhá část sahá do současnosti. Uvádíme v ní tři téměř elementární a navzájem zcela odlišné způsoby přístupu k nalezení brachistochrony: fyzikální, geometrický a variační. Příspěvek věnujeme k významnému životnímu výročí profesoru RNDr. Martinu Černohorskému, CSc., učiteli několika generací brněnských fyziků, který se ve svém vědeckém díle zabýval na mimořádné fyzikální úrovni mj. i historií Newtonovy mechaniky., Josef Slavíček, Jana Musilová., and Obsahuje seznam odkazů a literatury
Fiber lasers may exhibit instabilities and self-pulsed regimes that can have catastrophic consequences on their components. One of the self-pulsing regimes is the recently observed self-induced laser line sweeping (SLLS). The SLLS is characterized by periodic wavelength drift over broad spectral interval of several nanometers followed by quick bounce backward. The sweeping rate is relatively slow, of the order of nm per second. Thanks to narrow line width and simple construction, the SLLS fiber lasers are attractive sources for testing of photonics components, interrogation of optical fiber sensor arrays and for laser spectroscopy. The SLLS can be explained by creation of a standing wave built up by laser longitudinal mode and consequent spatial-hole burning and refractive-index grating inscription. We review an evaluation of reflection spectra of transient fiber Bragg gratings that are created in SLLS fiber lasers. The evaluation is shown using example of ytterbium fiber laser in Fabry-Perot configuration of the laser cavity. We discuss also the effect of the laser wavelength self-sweeping on the triggering of the self-Q-switched regime and the generation of giant laser pulses. and Vláknové lasery mohou vykazovat nestabilní pulzní režimy. Jedním z režimů se samovolnou generací impulzů je nedávno pozorovaný jev spontánního rozmítání vlnové délky vláknového laseru. Tento jev je doprovázen charakteristickým periodickým posunem vlnové délky laseru v širokém rozsahu vlnových délek několika nanometrů. Rychlost rozmítání je relativně pomalá, řádově nanometry za sekundu. Díky úzké šířce čáry a jednoduché konstrukci jsou tyto lasery atraktivními zdroji záření, mj. pro systémy optických vláknových senzorů, charakterizaci optických komponent a laserovou spektroskopii. Samovolné rozmítání vlnové délky lze vysvětlit vytvořením stojaté vlny určené podélným módem rezonátoru. Vznik stojaté vlny vede k podélné modulaci indexu lomu - zápisu mřížky. V tomto příspěvku podáváme shrnutí dosud prezentovaných prací týkajících se modelování odrazivosti braggovských mřížek ve vláknových laserech se spontánním rozmítáním vlnové délky. Popisujeme experimentální ytterbiový vláknový laser s tímto typem nestability, následovaný teoretickým popisem braggovské mřížky a ukázkou výpočtu odrazivosti pro laser odpovídající experimentu. Je též diskutován význam spontánního rozmítání na spouštění režimu samočinného Q-spínání a generaci gigantických laserových pulzů.